eder3232-Thesis

Coordenadas	Fuerza	Desplazamiento	Restringido
0	0	0	0
3	0	0	0
0	4	4.8	-6.4
3	4	0	-6

Matrices locales de rigidez de cada elemento:

Selecciona las matrices que deseas visualizar, o desactiva la siguiente opción para no ver ninguna:

Mostrar matrices locales de rigidez de cada elemento.

Matrices locales de rigidez en coordenadas locales:

Matriz local de rigidez en coordenadas locales sin el factor EA.

Matriz local de rigidez en coordenadas locales con el factor EA.

Matrices de transformación:

Matriz de transformación.

Matriz de transformación transpuesta.

Matrices locales de rigidez en coordenadas globales:

Matriz local de rigidez en coordenadas globales sin el factor EA.

Matriz local de rigidez en coordenadas locales con el factor EA.

Para cada barra tenemos:

Barra: e1

Matriz local de rigidez en coordenadas locales:

k_{e1}

= E \ imes A

Matriz local de rigidez en coordenadas locales sin el factor EA
L - L - sin EA
	1	2
1	0.33	-0.33
2	-0.33	0.33

=

Matriz local de rigidez en coordenadas locales con el factor EA
L - L - con EA
	1	2
1	6666.67	-6666.67
2	-6666.67	6666.67

Matrices de transformación para pasar de coordenadas locales a globales:

A = \begin{bmatrix} C_x & 0\\ C_y & 0\\ 0 & C_x\\ 0 & C_y \end{bmatrix} =

Matriz de transformación
A
	1	2
1	1.00	0.00
2	0.00	0.00
3	0.00	1.00
4	0.00	0.00

A^T = \begin{bmatrix} C_x & C_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & C_x & C_y\\ \end{bmatrix} =

Matriz de transformación transpuesta
$A^T$
	1	2	3	4
1	1.00	0.00	0.00	0.00
2	0.00	0.00	1.00	0.00

Matrices locales de rigidez en coordenadas globales:

kGlobal_{e1}

= E \ imes A

Matriz local de rigidez en coordenadas globales sin el factor EA
L - L - sin EA
	1	2	3	4
1	0.33	0.00	-0.33	0.00
2	0.00	0.00	0.00	0.00
3	-0.33	0.00	0.33	0.00
4	0.00	0.00	0.00	0.00

=

Matriz local de rigidez en coordenadas globales con el factor EA
L - L - con EA
		1	2	3	4
	GDL	1	2	3	4
1	1	6666.67	0.00	-6666.67	0.00
2	2	0.00	0.00	0.00	0.00
3	3	-6666.67	0.00	6666.67	0.00
4	4	0.00	0.00	0.00	0.00

Barra: e2

Matriz local de rigidez en coordenadas locales:

k_{e2}

= E \ imes A

Matriz local de rigidez en coordenadas locales sin el factor EA
L - L - sin EA
	1	2
1	0.33	-0.33
2	-0.33	0.33

=

Matriz local de rigidez en coordenadas locales con el factor EA
L - L - con EA
	1	2
1	6666.67	-6666.67
2	-6666.67	6666.67

Matrices de transformación para pasar de coordenadas locales a globales:

A = \begin{bmatrix} C_x & 0\\ C_y & 0\\ 0 & C_x\\ 0 & C_y \end{bmatrix} =

Matriz de transformación
A
	1	2
1	1.00	0.00
2	0.00	0.00
3	0.00	1.00
4	0.00	0.00

A^T = \begin{bmatrix} C_x & C_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & C_x & C_y\\ \end{bmatrix} =

Matriz de transformación transpuesta
$A^T$
	1	2	3	4
1	1.00	0.00	0.00	0.00
2	0.00	0.00	1.00	0.00

Matrices locales de rigidez en coordenadas globales:

kGlobal_{e2}

= E \ imes A

Matriz local de rigidez en coordenadas globales sin el factor EA
L - L - sin EA
	1	2	3	4
1	0.33	0.00	-0.33	0.00
2	0.00	0.00	0.00	0.00
3	-0.33	0.00	0.33	0.00
4	0.00	0.00	0.00	0.00

=

Matriz local de rigidez en coordenadas globales con el factor EA
L - L - con EA
		1	2	3	4
	GDL	5	6	7	8
1	5	6666.67	0.00	-6666.67	0.00
2	6	0.00	0.00	0.00	0.00
3	7	-6666.67	0.00	6666.67	0.00
4	8	0.00	0.00	0.00	0.00

Barra: e3

Matriz local de rigidez en coordenadas locales:

k_{e3}

= E \ imes A

Matriz local de rigidez en coordenadas locales sin el factor EA
L - L - sin EA
	1	2
1	0.25	-0.25
2	-0.25	0.25

=

Matriz local de rigidez en coordenadas locales con el factor EA
L - L - con EA
	1	2
1	5000.00	-5000.00
2	-5000.00	5000.00

Matrices de transformación para pasar de coordenadas locales a globales:

A = \begin{bmatrix} C_x & 0\\ C_y & 0\\ 0 & C_x\\ 0 & C_y \end{bmatrix} =

Matriz de transformación
A
	1	2
1	0.00	0.00
2	1.00	0.00
3	0.00	0.00
4	0.00	1.00

A^T = \begin{bmatrix} C_x & C_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & C_x & C_y\\ \end{bmatrix} =

Matriz de transformación transpuesta
$A^T$
	1	2	3	4
1	0.00	1.00	0.00	0.00
2	0.00	0.00	0.00	1.00

Matrices locales de rigidez en coordenadas globales:

kGlobal_{e3}

= E \ imes A

Matriz local de rigidez en coordenadas globales sin el factor EA
L - L - sin EA
	1	2	3	4
1	0.00	0.00	0.00	0.00
2	0.00	0.25	0.00	-0.25
3	0.00	0.00	0.00	0.00
4	0.00	-0.25	0.00	0.25

=

Matriz local de rigidez en coordenadas globales con el factor EA
L - L - con EA
		1	2	3	4
	GDL	1	2	5	6
1	1	0.00	0.00	0.00	0.00
2	2	0.00	5000.00	0.00	-5000.00
3	5	0.00	0.00	0.00	0.00
4	6	0.00	-5000.00	0.00	5000.00

Barra: e4

Matriz local de rigidez en coordenadas locales:

k_{e4}

= E \ imes A

Matriz local de rigidez en coordenadas locales sin el factor EA
L - L - sin EA
	1	2
1	0.25	-0.25
2	-0.25	0.25

=

Matriz local de rigidez en coordenadas locales con el factor EA
L - L - con EA
	1	2
1	5000.00	-5000.00
2	-5000.00	5000.00

Matrices de transformación para pasar de coordenadas locales a globales:

A = \begin{bmatrix} C_x & 0\\ C_y & 0\\ 0 & C_x\\ 0 & C_y \end{bmatrix} =

Matriz de transformación
A
	1	2
1	0.00	0.00
2	1.00	0.00
3	0.00	0.00
4	0.00	1.00

A^T = \begin{bmatrix} C_x & C_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & C_x & C_y\\ \end{bmatrix} =

Matriz de transformación transpuesta
$A^T$
	1	2	3	4
1	0.00	1.00	0.00	0.00
2	0.00	0.00	0.00	1.00

Matrices locales de rigidez en coordenadas globales:

kGlobal_{e4}

= E \ imes A

Matriz local de rigidez en coordenadas globales sin el factor EA
L - L - sin EA
	1	2	3	4
1	0.00	0.00	0.00	0.00
2	0.00	0.25	0.00	-0.25
3	0.00	0.00	0.00	0.00
4	0.00	-0.25	0.00	0.25

=

Matriz local de rigidez en coordenadas globales con el factor EA
L - L - con EA
		1	2	3	4
	GDL	3	4	7	8
1	3	0.00	0.00	0.00	0.00
2	4	0.00	5000.00	0.00	-5000.00
3	7	0.00	0.00	0.00	0.00
4	8	0.00	-5000.00	0.00	5000.00

Barra: e5

Matriz local de rigidez en coordenadas locales:

k_{e5}

= E \ imes A

Matriz local de rigidez en coordenadas locales sin el factor EA
L - L - sin EA
	1	2
1	0.20	-0.20
2	-0.20	0.20

=

Matriz local de rigidez en coordenadas locales con el factor EA
L - L - con EA
	1	2
1	4000.00	-4000.00
2	-4000.00	4000.00

Matrices de transformación para pasar de coordenadas locales a globales:

A = \begin{bmatrix} C_x & 0\\ C_y & 0\\ 0 & C_x\\ 0 & C_y \end{bmatrix} =

Matriz de transformación
A
	1	2
1	0.60	0.00
2	0.80	0.00
3	0.00	0.60
4	0.00	0.80

A^T = \begin{bmatrix} C_x & C_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & C_x & C_y\\ \end{bmatrix} =

Matriz de transformación transpuesta
$A^T$
	1	2	3	4
1	0.60	0.80	0.00	0.00
2	0.00	0.00	0.60	0.80

Matrices locales de rigidez en coordenadas globales:

kGlobal_{e5}

= E \ imes A

Matriz local de rigidez en coordenadas globales sin el factor EA
L - L - sin EA
	1	2	3	4
1	0.07	0.10	-0.07	-0.10
2	0.10	0.13	-0.10	-0.13
3	-0.07	-0.10	0.07	0.10
4	-0.10	-0.13	0.10	0.13

=

Matriz local de rigidez en coordenadas globales con el factor EA
L - L - con EA
		1	2	3	4
	GDL	1	2	7	8
1	1	1440.00	1920.00	-1440.00	-1920.00
2	2	1920.00	2560.00	-1920.00	-2560.00
3	7	-1440.00	-1920.00	1440.00	1920.00
4	8	-1920.00	-2560.00	1920.00	2560.00

Barra: e6

Matriz local de rigidez en coordenadas locales:

k_{e6}

= E \ imes A

Matriz local de rigidez en coordenadas locales sin el factor EA
L - L - sin EA
	1	2
1	0.20	-0.20
2	-0.20	0.20

=

Matriz local de rigidez en coordenadas locales con el factor EA
L - L - con EA
	1	2
1	4000.00	-4000.00
2	-4000.00	4000.00

Matrices de transformación para pasar de coordenadas locales a globales:

A = \begin{bmatrix} C_x & 0\\ C_y & 0\\ 0 & C_x\\ 0 & C_y \end{bmatrix} =

Matriz de transformación
A
	1	2
1	-0.60	0.00
2	0.80	0.00
3	0.00	-0.60
4	0.00	0.80

A^T = \begin{bmatrix} C_x & C_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & C_x & C_y\\ \end{bmatrix} =

Matriz de transformación transpuesta
$A^T$
	1	2	3	4
1	-0.60	0.80	0.00	0.00
2	0.00	0.00	-0.60	0.80

Matrices locales de rigidez en coordenadas globales:

kGlobal_{e6}

= E \ imes A

Matriz local de rigidez en coordenadas globales sin el factor EA
L - L - sin EA
	1	2	3	4
1	0.07	-0.10	-0.07	0.10
2	-0.10	0.13	0.10	-0.13
3	-0.07	0.10	0.07	-0.10
4	0.10	-0.13	-0.10	0.13

=

Matriz local de rigidez en coordenadas globales con el factor EA
L - L - con EA
		1	2	3	4
	GDL	3	4	5	6
1	3	1440.00	-1920.00	-1440.00	1920.00
2	4	-1920.00	2560.00	1920.00	-2560.00
3	5	-1440.00	1920.00	1440.00	-1920.00
4	6	1920.00	-2560.00	-1920.00	2560.00

Orden de los grados de libertad:

El orden de los grados de libertad es el siguiente:

El programa tomará en cuenta el orden de los grados de libertad para el ordenamiento si es que se ingresaron en la tabla, de lo contrario, se tomará el orden por defecto.

Puedes invertir el orden, haciendo que los grados de libertad restringidos estén en la parte superior o en la parte inferior con la opción inicial de los resultados.

Orden de los grados de libertad
Grado de libertad	Restringido	Interno
Node-v1-x	Si	0
Node-v1-z	Si	1
Node-v2-x	Si	2
Node-v2-z	Si	3
Node-v3-x	No	4
Node-v3-z	No	5
Node-v4-x	No	6
Node-v4-z	No	7

Ensamblando de la matriz global de rigideces:

Proceso de ensamblado de la matriz global de rigideces.

0
e1
e2
e3
e4
e5
e6

0
	1	2	3	4	5	6	7	8
1	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00
2	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00
3	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00
4	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00
5	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00
6	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00
7	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00
8	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00

Ecuación global de rigidez del sistema:

La ecuación global de rigidez tiene la siguiente forma:

\begin{bmatrix}F\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}K\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}U\end{bmatrix}

Cuyos valores numéricos correspondientes son los siguientes:

fGlobal
	1
1	F-v1-x
2	F-v1-z
3	F-v2-x
4	F-v2-z
5	4.80
6	-6.40
7	0.00
8	-6.00

=

kGlobal
	1	2	3	4	5	6	7	8
1	8106.67	1920.00	-6666.67	0.00	0.00	0.00	-1440.00	-1920.00
2	1920.00	7560.00	0.00	0.00	0.00	-5000.00	-1920.00	-2560.00
3	-6666.67	0.00	8106.67	-1920.00	-1440.00	1920.00	0.00	0.00
4	0.00	0.00	-1920.00	7560.00	1920.00	-2560.00	0.00	-5000.00
5	0.00	0.00	-1440.00	1920.00	8106.67	-1920.00	-6666.67	0.00
6	0.00	-5000.00	1920.00	-2560.00	-1920.00	7560.00	0.00	0.00
7	-1440.00	-1920.00	0.00	0.00	-6666.67	0.00	8106.67	1920.00
8	-1920.00	-2560.00	0.00	-5000.00	0.00	0.00	1920.00	7560.00

\cdot

uGlobal
	1
1	0.00
2	0.00
3	0.00
4	0.00
5	U-v3-x
6	U-v3-z
7	U-v4-x
8	U-v4-z

Separando la ecuación global de rigidez:

Se puede definir la ecuación matricial de rigidez de una forma más reducida:

\begin{bmatrix} F_r\\F_u \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} K_{rr} & K_{ru} \\ K_{ur} & K_{uu} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} U_r\\U_u \end{bmatrix}

Se forman las siguientes matrices de rigidez:

Fu
	1
1	4.80
2	-6.40
3	0.00
4	-6.00

Fr
	1
1	F-v1-x
2	F-v1-z
3	F-v2-x
4	F-v2-z

=

Krr
	1	2	3	4
1	8106.67	1920.00	-6666.67	0.00
2	1920.00	7560.00	0.00	0.00
3	-6666.67	0.00	8106.67	-1920.00
4	0.00	0.00	-1920.00	7560.00

Kur
	1	2	3	4
1	0.00	0.00	-1440.00	1920.00
2	0.00	-5000.00	1920.00	-2560.00
3	-1440.00	-1920.00	0.00	0.00
4	-1920.00	-2560.00	0.00	-5000.00

Kru
	1	2	3	4
1	0.00	0.00	-1440.00	-1920.00
2	0.00	-5000.00	-1920.00	-2560.00
3	-1440.00	1920.00	0.00	0.00
4	1920.00	-2560.00	0.00	-5000.00

Kuu
	1	2	3	4
1	8106.67	-1920.00	-6666.67	0.00
2	-1920.00	7560.00	0.00	0.00
3	-6666.67	0.00	8106.67	1920.00
4	0.00	0.00	1920.00	7560.00

\cdot

Uu
	1
1	U-v3-x
2	U-v3-z
3	U-v4-x
4	U-v4-z

Ur
	1
1	0.00
2	0.00
3	0.00
4	0.00

Solución de los desplazamientos no restringidos:

Se resuelve el sistema de ecuaciones matricial para obtener los desplazamientos.

\begin{bmatrix} U_u \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} K_{uu} \end{bmatrix}^{-1} \cdot \{ \begin{bmatrix} F_u \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} K_{ur} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} U_r \end{bmatrix} \}

Entonces se tiene la siguiente ecuación:

Uu
	1
1	U-v3-x
2	U-v3-z
3	U-v4-x
4	U-v4-z

=

Kuu
	1	2	3	4
1	8106.67	-1920.00	-6666.67	0.00
2	-1920.00	7560.00	0.00	0.00
3	-6666.67	0.00	8106.67	1920.00
4	0.00	0.00	1920.00	7560.00

^{-1}

\cdot \{

Fu
	1
1	4.80
2	-6.40
3	0.00
4	-6.00

-

Kur
	1	2	3	4
1	0.00	0.00	-1440.00	1920.00
2	0.00	-5000.00	1920.00	-2560.00
3	-1440.00	-1920.00	0.00	0.00
4	-1920.00	-2560.00	0.00	-5000.00

\cdot

Ur
	1
1	U-v3-x
2	U-v3-z
3	U-v4-x
4	U-v4-z

\}

Resolviendo se obtiene:

Uu
	1
1	U-v3-x
2	U-v3-z
3	U-v4-x
4	U-v4-z

=

UuSolved
	1
1	0.002524
2	-0.000205
3	0.002409
4	-0.001405

Solución de las fuerzas restringidas:

Se despeja de la ecuación global de rigidez las fuerzas restringidas:

\begin{bmatrix} F_r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} K_{ru} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} U_{u} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} K_{rr} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} U_{r} \end{bmatrix}

Entonces se tiene la siguiente ecuación:

Fr
	1
1	F-v1-x
2	F-v1-z
3	F-v2-x
4	F-v2-z

=

Kru
	1	2	3	4
1	0.00	0.00	-1440.00	-1920.00
2	0.00	-5000.00	-1920.00	-2560.00
3	-1440.00	1920.00	0.00	0.00
4	1920.00	-2560.00	0.00	-5000.00

\cdot

USolved
	1
1	0.00
2	-0.00
3	0.00
4	-0.00

+

Krr
	1	2	3	4
1	8106.67	1920.00	-6666.67	0.00
2	1920.00	7560.00	0.00	0.00
3	-6666.67	0.00	8106.67	-1920.00
4	0.00	0.00	-1920.00	7560.00

\cdot

Ur
	1
1	0.00
2	0.00
3	0.00
4	0.00

Resolviendo se obtiene:

Fr
	1
1	F-v1-x
2	F-v1-z
3	F-v2-x
4	F-v2-z

=

FrSolved
	1
1	-0.77
2	0.00
3	-4.03
4	12.40

Fuerzas internas de cada elemento:

Se obtienen las fuerzas internas de cada elemento con los desplazamientos obtenidos.

Fuerzas internas del elemento: e1

f_{e1}=k_{e1} \times A^T \times u_{e1}=

$k_{e1}$
	1	2
1	6666.67	-6666.67
2	-6666.67	6666.67

\times

$A^T_{e1}$
	1	2	3	4
1	1.00	0.00	0.00	0.00
2	0.00	0.00	1.00	0.00

\times

$u_{e1}$
	1
1	0.00
2	0.00
3	0.00
4	0.00

=

$f_{e1}$
	1
1	0.00
2	0.00

Fuerzas internas del elemento: e2

f_{e2}=k_{e2} \times A^T \times u_{e2}=

$k_{e2}$
	1	2
1	6666.67	-6666.67
2	-6666.67	6666.67

\times

$A^T_{e2}$
	1	2	3	4
1	1.00	0.00	0.00	0.00
2	0.00	0.00	1.00	0.00

\times

$u_{e2}$
	1
1	0.00
2	-0.00
3	0.00
4	-0.00

=

$f_{e2}$
	1
1	0.77
2	-0.77

Fuerzas internas del elemento: e3

f_{e3}=k_{e3} \times A^T \times u_{e3}=

$k_{e3}$
	1	2
1	5000.00	-5000.00
2	-5000.00	5000.00

\times

$A^T_{e3}$
	1	2	3	4
1	0.00	1.00	0.00	0.00
2	0.00	0.00	0.00	1.00

\times

$u_{e3}$
	1
1	0.00
2	0.00
3	0.00
4	-0.00

=

$f_{e3}$
	1
1	1.03
2	-1.03

Fuerzas internas del elemento: e4

f_{e4}=k_{e4} \times A^T \times u_{e4}=

$k_{e4}$
	1	2
1	5000.00	-5000.00
2	-5000.00	5000.00

\times

$A^T_{e4}$
	1	2	3	4
1	0.00	1.00	0.00	0.00
2	0.00	0.00	0.00	1.00

\times

$u_{e4}$
	1
1	0.00
2	0.00
3	0.00
4	-0.00

=

$f_{e4}$
	1
1	7.03
2	-7.03

Fuerzas internas del elemento: e5

f_{e5}=k_{e5} \times A^T \times u_{e5}=

$k_{e5}$
	1	2
1	4000.00	-4000.00
2	-4000.00	4000.00

\times

$A^T_{e5}$
	1	2	3	4
1	0.60	0.80	0.00	0.00
2	0.00	0.00	0.60	0.80

\times

$u_{e5}$
	1
1	0.00
2	0.00
3	0.00
4	-0.00

=

$f_{e5}$
	1
1	-1.28
2	1.28

Fuerzas internas del elemento: e6

f_{e6}=k_{e6} \times A^T \times u_{e6}=

$k_{e6}$
	1	2
1	4000.00	-4000.00
2	-4000.00	4000.00

\times

$A^T_{e6}$
	1	2	3	4
1	-0.60	0.80	0.00	0.00
2	0.00	0.00	-0.60	0.80

\times

$u_{e6}$
	1
1	0.00
2	0.00
3	0.00
4	-0.00

=

$f_{e6}$
	1
1	6.72
2	-6.72

Fin de los resultados!

Gráficos:

Gráficos de los resultados:

Gráfico de resultados:

Gráfico de deformaciones:

Factor de escala: 100

		Nombre	Viene de	Va hacia	Elasticidad	Area
					20000000	0.001
					20000000	0.001
					20000000	0.001
					20000000	0.001
					20000000	0.001
					20000000	0.001

Armaduras 2D

Nudos

Barras:

Resultados:

Matrices locales de rigidez de cada elemento:

Matrices locales de rigidez en coordenadas locales:

Matrices de transformación:

Matrices locales de rigidez en coordenadas globales:

Barra: e1

Barra: e2

Barra: e3

Barra: e4

Barra: e5

Barra: e6

Orden de los grados de libertad:

Ensamblando de la matriz global de rigideces:

Ecuación global de rigidez del sistema:

Separando la ecuación global de rigidez:

Solución de los desplazamientos no restringidos:

Solución de las fuerzas restringidas:

Fuerzas internas de cada elemento:

Fuerzas internas del elemento: e1

Fuerzas internas del elemento: e2

Fuerzas internas del elemento: e3

Fuerzas internas del elemento: e4

Fuerzas internas del elemento: e5

Fuerzas internas del elemento: e6

Gráficos:

Gráfico de resultados:

Gráfico de deformaciones: